![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXKKuaVbzurmBG909bBJh14rcGhv4ZDKLGJ1hEW6dWws5eL5bxKIWuT81SRuAovvnM-Ynl73Fvp9Z_qwjxBvKCi2VoiaZVwBGcEY3rNR4Z0ZlTTNEpjFn6c-uwBfoKk3KFLsPjFuBAileN/s1600/Animated_illustration_of_thales_theorem.gif)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilHo4ThzxLjHDj0B39e9XBD9A34keAVB57btuQdjYkMaB5slHdnGVhR4XdaqDmPJzfw_U67YM8k8R7ibTK21gL9XajZKbxDlcQqAXRf8S8hVAMoRa3PHhevZb1QfwrAu01jX0oBr8JuleF/s320/Thales%2527_Theorem_Simple.svg.png)
İSPATI:
Teoremin ispatında yararlanılacak kurallar:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzss_j6BvUg_SS9k_9aqNDL67OAhqj3ZbK1C-4NJBmrip-obOFFgzNhLqF5NmL5vt-VT2og_15ohLDeGvpf-hjD0Ep5jAEwerPGLh8Srx55DtMou5HHaXV900ERaJWM6JJi9U0znka_mk6/s320/Thales%2527_Theorem.svg+%25281%2529.png)
- bir üçgenin iç açıları toplamı iki dik açıya (180°) eşittir,
- ikizkenar üçgenlerin taban açıları birbirine eşittir.
O çemberin merkezi olarak alınsın. OA = OB = OC olduğundan, OBA ile OBC birer ikizkenar üçgendir; ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliğinden, OBC = OCB ve BAO = ABO yazılır. α = BAO ve β = OBC diye adlandırılsın. ABC üçgenin iç açıları α, α + β ve β olacaktır. İç açılar toplamının iki dik açıya eşitliğinden
yani
ya da sadeleştirilirse
- AC çap olduğu sürece, B açısı sabit ve dik açıdır.
- Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi, ancak ve ancak bir dik üçgen ise üçgenin kenarları üzerindedir.
- bir paralelkenarın karşılıklı açıları bütünlerdir (toplamları 180°),
- bir dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır ve birbirlerini orta noktalarında keserler.
- iki doğru arasında ancak ve ancak doğrultu vektörlerinin skaler çarpımı sıfırsa, dik açı bulunur
- bir vektörün boyutunun karesi, vektörün kendisiyle skaler çarpımıyla bulunur.
- A = − C, çünkü AC çaplı çemberin merkezinde orijinde ve
- (A − B) · (B − C) = 0, ABC dik açı.
- 0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A|2 − |B|2.
- |A| = |B|.
TERSİ:
Thales teoreminin evirilmiş hali de geçerlidir; yani bir dik üçgenin hipotenüsü, üçgenin çevrel çemberinin çapıdır.
Thales teoremiyle evirimi birleştirildiğinde elde edilecek ifade:
Geometriyle ispatı
İspat dik üçgen dikdörtgene tamamlanarak ve dikdörtgenin merkezinin köşelere eşit uzaklıkta, dolayısıyla orijinal üçgenin çevrel çemberinin merkezi, olduğu göz önüne alınarak yapılır. İki bilgi kullanılır:
ABC dik açısı, A'dan geçen BC'ye paralel r doğrusu ve C'den geçen AB'ye paralel s doğrusu alınsın. D r ile s doğrularının kesişim noktası olarak tanımlansın. (henüz D'nin çember üzerinde olduğu kesin değil)
Oluşan ABCD dörtgeni bir paralelkenardır (karşılıklı kenarları birbirine paralel). Paralelkenarın karşılıklı açıları bütünler (toplamları 180°) ve ABC açısının dik açı (90°) olduğu bilindiğinden BAD, BCD ve ADC açıları da diktir; yani ABCD bir dikdörtgendir.
AC ve BD köşegenlerinin kesişim noktası O olsun. O noktası, yukarıdaki ikinci bilgiye göre, A, B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır. Bu durumda O çevrel çemberin merkezi ve üçgenin hipotenüsü AC çemberin çapı olur.
Lineer cebirle ispatı
İspat için iki bilgi kullanılacaktır:
ABC dik açısı ve AC çaplı M çemberi alınsın. İşlemlerin basitleşmesi için M'in merkezi orijinde kabul edilsin. Buna göre
İfadeler düzenlenirse
Sonuçta:
Yukarıdaki bağıntıya göre A ile B orijine, diğer bir ifadeyle M 'nin merkezine, eşit mesafededir. A 'nın M üzerinde olduğu düşünüldüğünde, B de çember üzerinde yer alacaktır ve bu durumda M çemberi üçgenin çevrel çemberidir.
Yapılan tüm işlemler Thales teoreminin, her iki yönde de, herhangi bir iç çarpım uzayında geçerli olduğunu gösterir.
UYGULAMALARI
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-Z2_wKYqJFyCul53GnFKqNd2CMVqTr85MsbIk_23TEKqWSekqIlpVeTpFbjwCa1n-Y5DvyxjOoaojgxmBr73htuFKsepps7j9c8S4e4nu6LLvmrx72jtLfaFGUdHJfbzgAVsDmuK8k8Yl/s320/Thales%2527_Theorem_Tangents.svg.png)
Thales teoremi kullanılarak teğet çizimi.
Thales teoremi yardımıyla bir çembere istenilen noktadan teğet çizilebilir. (Şekilde gösterildiği gibi) O merkezli bir k çemberi ve çember dışında bir P noktası alınarak, k'ye P'den geçen teğet(ler) (kırmızı) çizilmek istensin. Teğet doğrusu t'nin çembere T noktasında değdiği varsayalır (henüz bu bilinmiyor). Yarıçap OT teğete dik olacaktır. Sonrasında O ile P'nin orta noktasına H diyerek, O ile P'den geçen H merkezli bir çember çizilsin. Thales teoremine göre, istenen T noktası iki çemberin kesişim noktasıdır çünkü k üzerinde bulunur ve OTP dik üçgenini tamamlar.
Çemberlerin iki kesişimi olduğundan, bu yöntemle istenen noktadan geçecek iki teğet doğrusu da çizilebilir.
ALINTIDIR.
https://tr.m.wikipedia.org/wiki/Thales_teoremi_(çember)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder